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Estimation par simulations de la distribution de probabilité de l'aire des cellules de Voronoi induites par un processus ponctuel de Poisson

Ce projet a été attribué.

Encadrants

• Ludmila Courtillat--Piazza, Anaïs Vergne
• Emails: lpiazza@telecom-paris.fr, anais.vergne@telecom-paris.fr
• Bureaux: 4C05

Nombre d'étudiant par instance du projet:

• Minimum: 4
• Maximum: 4

Nombre d'instances du projet :

Sigles des UE couvertes et/ou Mots-clés :

Image

Description du projet :

*Légende de l'illustration: Pavage de Voronoi induit par un processus Ponctuel de Poisson modélisant un ensemble de stations de base (points bleus). Les utilisateurs (croix oranges) sont modélisés par un second processus ponctuel de Poisson de densité plus élevée (davantage de points par unité de surface).*

La *géométrie stochastique* est un formalisme théorique permettant d'exprimer des probabilités sur des variables dans un espace à plusieurs dimensions. Cet outil est beaucoup utilisé pour la modélisation des réseaux cellulaires (3G, 4G, 5G...). Il permet d'évaluer les performances à priori d'un type de réseau défini par quelques paramètres.

En géométrie stochastique, l'objet de base est un *processus ponctuel*. C'est une variable aléatoire dont la valeur est une collection de points.
En particulier, un *processus ponctuel de Poisson homogène* est un type de processus particulièrement populaire et très largement utilisé, du fait de ses propriétés mathématiques avantageuses. Dans les applications de la géométrie stochastique aux réseaux mobiles, on représente souvent l'ensemble des stations de bases (~ antennes) par un processus ponctuel de Poisson homogène prenant comme valeur un ensemble de points de $\mathbb{R}^2$.

Le *pavage de Voronoi* d'un espace par une collection de points $K$ est l'ensemble des cellules obtenues en associant chaque point de l'espace au point de $K$ dont il est le plus proche.

Or, dans un réseau cellulaire, on peut considérer en première approximation qu'un utilisateur se connecte toujours à la station de base la plus proche. Pour évaluer à l'aide des outils de géométrie stochastique la distribution de probabilité du débit par utilisateur. qu'un réseau peut fournir, nous avons besoin de connaître la distribution de probabilité de l'aire des cellules de Voronoi induites par le processus ponctuel de Poisson modélisant les stations de base.

**Malheureusement, il n'existe pas à ce jour d'expression mathématique de la distribution de probabilité de l'aire des cellules de Voronoi induites par un processus ponctuel de Poisson. Dans ce projet, nous proposons d'estimer une telle distribution par simulation numérique.**

Objectifs du projet :

Les étudiant.es pourrons commencer le projet en réalisant les tâches suivantes:
- Se documenter sur les fondamentaux de la géométrie stochastique: comprendre ce qu'est un processus ponctuel, un processus ponctuel de Poisson, un pavage de Voronoi.
- Écrire un programme permettant de simuler des processus ponctuels de Poisson.
- Facultatif: implémenter un programme qui calcule le pavage de Voronoi induit par une liste de points. Sinon, utiliser une bibliothèque appropriée.
- Réfléchir aux différentes manières possibles de calculer l'aire des cellules à partir d'une liste de points et du pavage de Voronoi qu'elle induit.
- Effectuer un nombre de simulations suffisant pour obtenir une "bonne" approximation de la distribution de l'aire des cellules de Voronoi.

Par la suite, en fonction de l'avancée du projet, diverses extensions pourront être envisagées:
- Estimation des distributions d'autres propriétés: le nombre de cellules voisines d'une cellule, le périmètre d'une cellule...
- Extension au cas d'un processus répulsif.
- Distance d'un point quelconque (utilisateur) au *centre* de la cellule (station de base).

Logiciels requis:

Langage conseillé: Python

Références bibliographiques:

- Bacelli et Blaszczyszyn “Stochastic geometry and wireless networks"
- Decreusfond et Moyal "Modélisation et analyse stochastiques des réseaux de télécommunications"